Кол-во книг: 87, статей - 128
Поиск по: статьям :: книгам


Тексты книг принадлежат их авторам и размещены для ознакомления

«к разделу        1.  2.  3.  4.  5.

Идеи и вычисления

Диалог философа и математика1

 

В.В. Целищев

 

 

В один из зимних вечеров между работающим математиком и философом, чьи интересы лежат в области философии математики, состоялась беседа. Известно, что у таких собеседников на одни и те же вопросы, касающиеся методологии математики, традиционно существуют разные ответы. Возможно ли какое-то общее понимание хотя бы некоторых проблем? Частичным ответом на этот вопрос и является вымышленный диалог, представляемый читателю.

Философ: В одном из первых переводов Н. Бурбаки на русский язык, помнится, в качестве эпиграфа был приведен афоризм Лейбница. Цель математики, говорит Лейбниц, состоит в том, чтобы заменить идеи вычислениями. Хорошо помню также, что в дальнейших переводах Н. Бурбаки была признана ошибка первого перевода и утверждалось, что правильный перевод Лейбница таков: цель математики состоит в том, чтобы заменить вычисления идеями. В то время я знал, какой из вариантов правилен с моей точки зрения, но потом я забыл свою аргументацию и теперь нахожу обе формулировки достойными внимания. А что ты думаешь по этому поводу?

Математик: Я уверен в том, что цель математической деятельности состоит все-таки в замене вычислений идеями. Самые значительные по своему техническому уровню идеи становились важными только в том случае, если их можно было объяснить на уровне идей, понятных образованному человеку. Это относится, кстати говоря, ко всем наукам.

Философ: Если это относится ко всем наукам, то теряется математический аромат афоризма Лейбница. Возникает ощущение, что, рассматривая математику в общем культурном контексте, мы слишком расширяем проблему соотношения идей и вычислений.

Математик: Но замена вычислений идеями и есть как раз то, что делают математики. Я хочу сослаться тут на деятельность А.И. Мальцева. В одной из своих работ он обсуждает технические результаты исследований И. Шафаревича по конечным подгруппам, и говорит, что эти результаты могут быть выражены исходя из более общих идей. Такого рода работу А.И. Мальцев считал значимой, полагая, что имеющее при этом место передоказательство не менее важно, чем основной результат. Сам я полагаю, что представление результата ясным и понятным и есть, по сути, замена вычислений идеями.

Философ: Ты говоришь о техническом упрощении результата, скажем, доказательства как о более ясной идее, призванной заменить вычисления. А не происходит ли при этом замена одной цепи вычислений другой цепью, опять-таки вычислений. Где же тут замена вычислений идеями?

Математик: Если бы все дело заключалось в смене одного вычисления другим без получения чего-то существенного, то вряд ли математики занимались бы передоказательством. Между тем Гаусс неоднократно возвращался к ряду своих доказательств, приводя все новые и, надо думать, более ясные доказательства.

Философ: Но Гаусс мог добиваться ясности для себя самого, и тогда это обстоятельство является психологическим.

Математик: Нет, нет! Процесс передоказательства включает много такого, что «и не снилось нашим мудрецам», то бишь философам. Главное тут в том, что новая идея, которая лежит в основе передоказательства, требует нового технического аппарата, а зачастую и создания новых понятий и нового языка. И вот в этом новом языке, в новом аппарате старый результат становится более естественным и понятным.

Философ: Не получается ли так, что бόльшие ясность и понятность тут иллюзорные? Ведь они достигаются за счет усложнения аппарата, языка. Возникает такое ощущение, что хотя усложнение языка компенсируется большей ясностью, сумма идей и вычислений остается постоянной. Как говаривали в школе, от перестановки мест слагаемых...

Математик: Но это неверный подход! Нельзя забывать, что процесс передоказательства есть создание нового контекста, который меняет и саму исходную постановку вопроса. Рассмотрим «парадокс изобретателя» Д. Пойа, в котором особенно хорошо видна роль обобщений. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами b и с и гипотенузой а. Требуется
«к разделу         1.  2.  3.  4.  5.

Поиск по: статьям :: книгам
  Rambler's Top100
 
© 2013 Материалы этого сайта могут быть использованы только со ссылкой на данный сайт. | Статьи партнёров